Atış Hareketleri

Hareketlerin bağımsızlığı

Bir topa vurduğunda, bir taşı fırlattığında ya da bir su hortumunu eğik tuttuğunda cisim eğri bir yol izler. Hava direnci ihmal edilirse bu cisimlere havadayken yalnızca yer çekimi etki eder. Yer çekimi düşey olduğu için hareket iki bağımsız parçaya ayrılır:

• Yatayda kuvvet yoktur: yatay hız sabittir, hareket düzgün doğrusal harekettir.
• Düşeyde ivme \(g\)'dir: hareket serbest düşme ya da düşey atış gibidir.

İki hareket birbirini etkilemez ama aynı süreyi paylaşır. Bu yüzden atış sorularının anahtarı süredir: süre genellikle düşey hareketten bulunur, sonra yatay harekette kullanılır. Galileo bu bağımsızlığı ilk kez açıkça ortaya koymuş ve atılan cisimlerin yörüngesinin bir parabol olduğunu göstermiştir.

Bağımsızlığın en çarpıcı sonucu şudur: aynı yükseklikten biri serbest bırakılan, diğeri aynı anda yatay atılan iki top yere aynı anda düşer. Yatay hız yalnızca topun ne kadar uzağa gideceğini değiştirir; ne kadar sürede düşeceğini değiştirmez.

Yatay atış

\(h\) yüksekliğinden \(v_0\) hızıyla yatay atılan bir cisim, düşeyde serbest düşme yapar:

Düşme süresi yalnızca yüksekliğe bağlıdır. Atış hızı iki katına çıkarsa süre değişmez, menzil iki katına çıkar. Yükseklik dört katına çıkarsa süre ve dolayısıyla menzil iki katına çıkar.

Yatay atılan bir cismin eşit zaman aralıklarıyla çekilmiş (stroboskopik) fotoğrafında görüntüler yatayda eşit aralıklıdır, çünkü yatay hız sabittir. Düşeyde ise ardışık aralıklardaki düşüşler, serbest düşmede olduğu gibi 1 : 3 : 5 : 7 … oranında büyür. Bir fotoğraftaki yatay aralıklar eşit değilse ya da düşey aralıklar bu orana uymuyorsa, cisme yer çekiminden başka bir kuvvet (örneğin güçlü bir hava direnci ya da rüzgâr) etki ediyor demektir. Laboratuvarda bu yöntemle \(g\)'nin değeri de ölçülebilir.

Yere çarpma anında hızın yatay bileşeni hâlâ \(v_0\), düşey bileşeni \(g\,t\)'dir. Çarpma hızının büyüklüğü ve yatayla yaptığı açı:

Enerji korunumu da aynı sonucu verir: \(v^2 = v_0^2 + 2gh\). Bu eşitlik, çarpma hızının büyüklüğünün atış yönüne bağlı olmadığını gösterir; aynı yükseklikten aynı hızla yatay, yukarı ya da aşağı atılan cisimler yere aynı büyüklükte hızla çarpar (ama farklı sürelerde ve farklı yönlerde).

Eğik atış

Yerden yatayla \(\alpha\) açısı yaparak \(v_0\) hızıyla atılan bir cismin hızı iki bileşene ayrılır:

Yatay bileşen hareket boyunca değişmez. Düşey bileşen her saniye \(g\) kadar azalır, tepe noktasında sıfır olur, sonra aşağı doğru artar. Cisim aynı seviyeye, atış hızıyla aynı büyüklükte ve yatayla aynı açıyı yapan (ama aşağı yönlü) bir hızla döner.

Tepe noktası: Tepede hızın düşey bileşeni sıfırdır, ama cisim durmaz: hızı \(v_x = v_0\cos\alpha\)'dır ve bu, yörünge boyunca en küçük hızdır. İvme ise tepede de \(g\)'dir. "Tepede hız sıfırdır" yalnızca düşey atış için doğrudur.

Simetri: Aynı seviyeye dönen eğik atışta yörünge, tepe noktasından geçen düşey doğruya göre simetriktir. Cisim belli bir yükseklikten çıkarken ve inerken iki kez geçer; bu iki anda hızların büyüklükleri eşittir. Çıkış süresi iniş süresine eşittir.

Yörünge denklemi ve grafikler

Eğik atışta \(x = v_x t\) denkleminden \(t = x/v_x\) çekilip düşey konum denklemine yazılırsa zaman yok edilir ve yörüngenin denklemi elde edilir:

Bu, \(y = bx - cx^2\) biçiminde aşağı açılan bir paraboldür. Denklem, belirli bir uzaklıktaki bir hedefin (bir duvarın, bir potanın, bir ağacın tepesinin) üstünden geçilip geçilmeyeceğini zaman hesabı yapmadan bulmayı sağlar.

Atış hareketinin grafikleri de iki bileşen için ayrı ayrı çizilir:

• Yatay hız–zaman grafiği zaman eksenine paralel bir doğrudur; altındaki alan menzili verir.
• Düşey hız–zaman grafiği eğimi \(-g\) olan bir doğrudur; \(v_{0y}\)'den başlar, tepe anında sıfırı keser ve \(-v_{0y}\)'de biter.
• Yatay konum–zaman grafiği düz bir doğrudur; düşey konum–zaman grafiği bir paraboldür.
• İvme–zaman grafiği her iki bileşende de sabittir: yatayda sıfır, düşeyde \(-g\).

Kinetik enerji–zaman grafiği ise tepe anında en küçük değerine (\(\tfrac12 m v_x^2\)) iner ama sıfıra inmez; bu, eğik atışı düşey atıştan ayıran bir özelliktir.

Atışlarda enerji

Hava direnci yoksa atılan cismin mekanik enerjisi korunur. Bu, hız sorularını süre hesaplamadan çözmeyi sağlar:

Yerden eğik atılan bir cismin tepe noktasındaki kinetik enerjisi, atış anındaki kinetik enerjinin \(\cos^2\alpha\) katıdır. 45°'lik atışta tepede kinetik enerji başlangıç değerinin yarısıdır; 60°'lik atışta dörtte biridir. Kaybedilen kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşmüştür: \(m g h_{\max} = \tfrac12 m (v_0\sin\alpha)^2\).

Açı ve menzil

Menzil formülündeki \(\sin2\alpha\) en büyük değerini \(\alpha = 45°\)'de alır. Bu yüzden aynı hızla atılan cisimler 45°'de en uzağa gider:

Toplamları 90° olan iki açı (tamamlayıcı açılar) aynı menzili verir, çünkü \(\sin2\alpha = \sin(180° - 2\alpha)\)'dır: 30° ve 60°, 15° ve 75°, 37° ve 53° gibi. Büyük açıyla atılan cisim daha yükseğe çıkar ve havada daha uzun kalır; küçük açıyla atılan daha alçaktan ve daha kısa sürede aynı noktaya varır.

Yüksekten eğik atış

Bir kuleden ya da uçurumdan eğik atılan cisim aynı seviyeye dönmez; bu yüzden simetri formülleri (\(t_{\text{uçuş}} = 2v_0\sin\alpha/g\), \(x = v_0^2\sin2\alpha/g\)) kullanılamaz. Güvenli yol, yukarıyı pozitif seçip düşey hareketi tek bir denklemle yazmaktır:

Bu ikinci dereceden denklemin pozitif kökü uçuş süresidir. Yatay uzaklık yine \(x = v_x\,t\)'dir. Aşağı doğru eğik atışta \(v_{0y}\) negatif alınır.

Hızın yönü ve aşağı doğru atış

Atış hareketinde hız vektörü her an yörüngeye teğettir. Hızın yatayla yaptığı açı \(\tan\beta = v_y / v_x\) ile bulunur. Eğik atışta bu açı \(\alpha\)'dan başlar, tepe noktasında sıfıra iner ve aynı seviyeye dönüşte \(-\alpha\) olur. Yatay atışta açı sıfırdan başlar ve cisim düştükçe artar; ama hiçbir zaman 90° olmaz, çünkü yatay bileşen hiç kaybolmaz. Hız ile ivme arasındaki açı ise çıkışta 90°'den büyük (cisim yavaşlar), tepede tam 90°, inişte 90°'den küçüktür (cisim hızlanır).

Bir yükseklikten aşağı doğru eğik atılan cisimde hem yatay hem düşey başlangıç hızı vardır ve düşey hız baştan aşağı yönlüdür. Bu durumda cisim, aynı yükseklikten aynı hızla yatay atılan bir cisimden daha kısa sürede yere düşer; yukarı doğru eğik atılan cisim ise en uzun sürede düşer. Üç durumda da yere çarpma hızlarının büyüklükleri, enerji korunumu gereği eşittir.

Atışların bilimsel incelemesi topçuluk ihtiyacıyla gelişti. Ortaçağ düşünürleri top güllesinin önce düz bir çizgi boyunca gittiğini, sonra "gücü bitince" dikine düştüğünü sanıyordu. Galileo, 1638'de yayımladığı İki Yeni Bilim adlı eserinde yatay ve düşey hareketleri ayrı ayrı inceleyerek yörüngenin parabol olduğunu gösterdi ve 45°'nin en uzak menzili verdiğini kanıtladı. Bugün uzay araçlarının, uyduların ve balistik füzelerin yörünge hesapları da aynı ilkeden, yani hareketin bileşenlerine ayrılmasından başlar.

Hareketli araçtan atış

Sabit hızla yatay uçan bir uçaktan bırakılan paket, bırakıldığı anda uçağın hızına sahiptir. Hava direnci ihmal edilirse paket ile uçağın yatay hızları her an eşit kalır; bu yüzden paket her an uçağın tam altındadır. Yerdeki gözlemciye göre paket yatay atış yapar ve bir parabol çizer; uçaktaki pilota göre ise düz aşağı düşer. Aynı hareketin iki gözlemciye farklı görünmesi, bağıl hareketin bir sonucudur.

Bu yüzden yardım paketi bırakan bir uçak, paketi hedefin tam üstünde değil, hedefe ulaşmadan \(x = v \cdot t\) kadar önce bırakmalıdır. Benzer biçimde sabit hızla giden bir trende yukarı atılan bir top, yolcunun eline geri düşer; yerdeki gözlemciye göre ise topun yolu bir paraboldür.

Hareketli araçtan eğik atış: Hareket eden bir araçtan atılan cismin yere göre hızı, aracın hızı ile cismin araca göre atılış hızının vektörel toplamıdır. Sabit hızla giden açık bir kamyonun kasasından düşey yukarı atılan bir top, yere göre eğik atış yapar: yatay hızı kamyonun hızı, düşey hızı atış hızıdır. Kamyon hızını değiştirmezse top yine kasaya, atıldığı noktaya düşer. Kamyon top havadayken hızlanırsa top kasanın gerisine, yavaşlarsa önüne düşer.

Atış sorularında çözüm planı

1. Başlangıç noktasını ve pozitif yönleri seç (genellikle yukarı ve atış yönü pozitif).
2. İlk hızı bileşenlerine ayır: \(v_x = v_0\cos\alpha\), \(v_{0y} = v_0\sin\alpha\).
3. Soruda süreyi belirleyen hareketi bul: yükseklik verilmişse düşey, yatay uzaklık verilmişse yatay hareketten süre çıkar.
4. Bulunan süreyi diğer harekette kullan.
5. Hız istenirse bileşenleri ayrı bul ve Pisagor ile birleştir; büyüklük istenirse enerji korunumuyla kontrol et.

Eğik düzleme ve duvara atış

Bir yokuşun tepesinden yatay atılan cisim, eğik düzleme çarptığı anda düşeyde aldığı yolun yatayda aldığı yola oranı eğimin tanjantına eşittir:

Duvara doğru atılan cisimde ise önce duvara ulaşma süresi yatay hareketten (\(t = d/v_x\)) bulunur, sonra o andaki yükseklik düşey hareketten hesaplanır. Basketbolda topun potaya ulaşıp ulaşmayacağı da aynı yöntemle bulunur.

Hava direncinin etkisi

Gerçek atışlarda hava direnci hem yatay hem düşey hıza karşı koyar. Bu yüzden yörünge simetrik bir parabol olmaktan çıkar: cisim daha alçaktan geçer, daha kısa menzile düşer ve iniş, çıkıştan daha dik olur. Hava direncinin büyük olduğu durumlarda en uzak menzil 45°'den daha küçük bir açıda elde edilir; gülle ve cirit atıcılarının ideal açıları bu yüzden 45°'nin altındadır.