Newton Yasaları ve Sabit İvmeli Hareket

Newton'un üç yasası

Dinamik, hareketin nedenini inceler. Bütün klasik mekanik, Newton'un üç yasası üzerine kuruludur.

Birinci yasa (eylemsizlik): Bir cisme etki eden net kuvvet sıfırsa cisim duruyorsa durmaya, hareket ediyorsa sabit hızla doğrusal hareketine devam eder. Cisimlerin hareket durumlarını koruma eğilimine eylemsizlik denir ve eylemsizliğin ölçüsü kütledir. Otobüs aniden fren yaptığında yolcuların öne savrulması, masa örtüsü hızla çekildiğinde tabakların yerinde kalması eylemsizliğin sonuçlarıdır.

İkinci yasa (temel ilke): Bir cisme net bir kuvvet etki ederse cisim, net kuvvetle aynı yönde ve net kuvvetle doğru, kütleyle ters orantılı bir ivme kazanır:

Kuvvetin birimi newtondur: 1 N, 1 kg kütleye 1 m/s² ivme kazandıran kuvvettir. İvme her zaman net kuvvetle aynı yöndedir, ama hız ile aynı yönde olmak zorunda değildir: yukarı atılan taş yukarı giderken ivmesi aşağıdır.

Üçüncü yasa (etki–tepki): A cismi B'ye bir kuvvet uygularsa B de A'ya aynı büyüklükte, zıt yönde bir kuvvet uygular. Etki ve tepki kuvvetleri farklı cisimlere etki ettiği için birbirini dengelemez. Masadaki bir kitabın ağırlığı ile masanın tepki kuvveti etki–tepki çifti değildir; ikisi de kitaba etki eder. Kitabın ağırlığının tepkisi, kitabın Dünya'yı yukarı çekme kuvvetidir.

Kütle ve ağırlık

Kütle, bir cismin madde miktarının ve eylemsizliğinin ölçüsüdür; birimi kilogramdır ve cismin nerede olduğuna bağlı değildir. Ağırlık ise cisme etki eden kütle çekim kuvvetidir: \(G = mg\). Birimi newtondur ve bulunulan yerin çekim ivmesine bağlıdır. 60 kg kütleli bir astronot Ay'da da 60 kg'dır, ama Ay'da \(g \approx 1{,}6\) m/s² olduğundan ağırlığı 600 N değil yaklaşık 96 N'dur. Uzay istasyonunda "ağırlıksız" süzülen astronotu itmek yine de zordur, çünkü eylemsizliği, yani kütlesi aynıdır. Eşit kollu terazi kütleleri karşılaştırır ve Ay'da da aynı sonucu verir; yaylı kantar ise ağırlığı ölçer ve Ay'da daha küçük değer gösterir.

Serbest cisim çizimi

Dinamik sorularının yarısı doğru kuvvet çizimidir. İncelenen cisim ayrı çizilir ve ona etki eden kuvvetler tek tek eklenir:

1. Ağırlık \(mg\): her zaman düşey aşağı.
2. Tepki kuvveti \(N\): temas yüzeyine dik, yüzeyden dışarı.
3. İp gerilmesi \(T\): ip boyunca, cisimden dışarı (ip yalnızca çeker).
4. Sürtünme \(f\): yüzeye paralel, harekete (ya da hareket eğilimine) zıt.
5. Uygulanan kuvvetler: soruda verilen itme ya da çekmeler.

Cisme dokunmayan hiçbir şey ona kuvvet uygulamaz; yer çekimi dışında "hareket kuvveti" ya da "ivme kuvveti" diye bir kuvvet yoktur. Hareket eden bir cisme hareket yönünde kuvvet etki etmek zorunda değildir.

Bağlı cisimler

Birbirine gergin iple bağlı ya da birbirini iten cisimler aynı büyüklükte ivmeyle hareket eder. Önce bütün sistem tek bir cisim gibi düşünülür:

İp gerilmesi ve temas kuvvetleri iç kuvvetlerdir; sistemin bütünü için yazılan denklemde birbirini götürür. Bu kuvvetleri bulmak için cisimlerden biri ayrı ele alınır ve onun için \(F_{\text{net}} = m a\) yazılır.

Atwood makinesi: Sabit bir makaradan sarkan iki cisimde, ağır cisim aşağı, hafif cisim yukarı hızlanır:

Kütleler birbirine yakınsa ivme küçük olur; Atwood bu düzeneği \(g\)'yi yavaşlatılmış biçimde ölçmek için kullanmıştır. İp gerilmesi her zaman ağır cismin ağırlığından küçük, hafif cismin ağırlığından büyüktür.

Birbirini iten bloklar: Yan yana duran bloklardan ilki \(F\) kuvvetiyle itilirse ortak ivme \(a = F/m_{\text{toplam}}\)'dır. İki blok arasındaki temas kuvveti, kendisinden sonraki blokların hepsini hızlandıran kuvvettir: \(F_{\text{temas}} = m_{\text{arkadakiler}} \cdot a\). Bu yüzden itme noktasından uzaklaştıkça temas kuvvetleri küçülür.

Hareketli makaralı düzenekler: Bir cisim hareketli makaraya, diğeri ipin serbest ucuna bağlıysa iki cismin ivmeleri eşit değildir. İpin uzunluğu sabit olduğu için ip ucu \(x\) kadar ilerlerken hareketli makara \(x/2\) kadar ilerler; bu yüzden makaraya bağlı cismin ivmesi diğerinin yarısıdır. Hareketli makarayı iki ip kolu çektiği için makaraya bağlı cisme \(2T\), serbest uçtaki cisme \(T\) kuvveti etki eder. Bu iki bağıntı (ivme oranı ve kuvvet oranı) birlikte kullanılarak sistem çözülür.

Üst üste duran cisimler: Sürtünmeli bir yüzeyle birbirine değen iki blok, alttaki çekildiğinde birlikte hareket edebilir ya da üstteki kayabilir. Üstteki bloğu hızlandıran tek yatay kuvvet aradaki statik sürtünmedir; bu kuvvet en fazla \(k_s m_{\text{üst}} g\) olabileceği için üstteki bloğun alabileceği en büyük ivme \(a_{\max} = k_s g\)'dir. Sistemin ortak ivmesi bu değeri aşarsa üstteki blok kaymaya başlar. Kamyon kasasındaki yükün ani kalkışlarda geriye kaymasının nedeni budur.

Sürtünme kuvveti

Sürtünme, birbirine değen yüzeyler arasında, kaymaya ya da kayma eğilimine karşı koyan kuvvettir.

• Statik sürtünme: Cisim hareketsizken etki eder; büyüklüğü uygulanan kuvvete eşittir ve en fazla \(f_{s,max} = k_s N\) olabilir.
• Kinetik sürtünme: Cisim kayarken etki eder: \(f_k = k_k N\). Genellikle \(k_k < k_s\)'dir; ağır bir dolabı harekete geçirmek, kayarken itmeye devam etmekten zordur.

Sürtünme kuvveti yüzeylerin cinsine ve dik tepki kuvvetine bağlıdır; temas alanına ve (yaklaşık olarak) hıza bağlı değildir. Yatay yüzeyde \(N = mg\) olsa da, cisme eğik bir kuvvet uygulanıyorsa \(N\) değişir: yukarı doğru eğik çekmek \(N\)'yi ve dolayısıyla sürtünmeyi azaltır, aşağı doğru eğik itmek artırır.

Eğik çekme kuvveti: Yatay düzlemdeki bir cisme yatayla \(\alpha\) açısı yapan \(F\) kuvveti uygulanırsa kuvvet iki bileşene ayrılır. Yatay bileşen \(F\cos\alpha\) cismi hızlandırır; düşey bileşen \(F\sin\alpha\) ise tepki kuvvetini değiştirir. Kuvvet yukarı doğru çekiyorsa \(N = mg - F\sin\alpha\), aşağı doğru itiyorsa \(N = mg + F\sin\alpha\) olur. Bu yüzden ağır bir valizi yerde sürüklemek için kolunu yukarı doğru eğik çekmek, onu önden aşağı doğru itmekten daha kolaydır: sürtünme azalır.

Eğik düzlem

Eğim açısı \(\theta\) olan bir düzlemde ağırlık iki bileşene ayrılır: düzleme paralel \(mg\sin\theta\) ve düzleme dik \(mg\cos\theta\). Düzleme dik doğrultuda hareket olmadığı için \(N = mg\cos\theta\)'dır.

Yukarı doğru fırlatılan bir cisim için sürtünme de ağırlığın bileşeni de aşağı yönlüdür; bu yüzden çıkış sırasındaki yavaşlama, inişteki hızlanmadan büyüktür. Cisim durduktan sonra geri kayıp kaymayacağı, \(\tan\theta\) ile \(k_s\)'nin karşılaştırılmasına bağlıdır.

Asansör ve görünür ağırlık

Bir tartı, üzerindeki kişiye uyguladığı tepki kuvvetini gösterir. İvmeli bir asansörde bu kuvvet ağırlıktan farklıdır:

Önemli olan hızın değil ivmenin yönüdür: yukarı çıkarken yavaşlayan asansörün ivmesi aşağıdır ve tartı az gösterir; aşağı inerken yavaşlayan asansörün ivmesi yukarıdır ve tartı fazla gösterir. Asansör sabit hızla hareket ediyorsa tartı gerçek ağırlığı gösterir. Kablo koparsa (\(a = g\)) tartı sıfırı gösterir: kişi ağırlıksızlık hisseder, oysa ağırlığı yok olmamıştır.

İvmeli araçta sarkaç

Yatay yolda \(a\) ivmesiyle hızlanan bir aracın tavanına asılı bir sarkaç, düşeyle bir \(\theta\) açısı yaparak ivmenin ters yönüne doğru eğilir. Sarkaca yalnızca ağırlık ve ip gerilmesi etki eder; gerilmenin yatay bileşeni sarkacı araçla birlikte hızlandırır, düşey bileşeni ağırlığı dengeler:

Bu düzenek basit bir ivmeölçerdir: açıyı ölçerek aracın ivmesi bulunur. Araç sabit hızla gidiyorsa sarkaç düşey durur; fren yaparken öne doğru eğilir. Aynı ilke, hızlanan bir otobüste tutamakların geriye doğru eğilmesinde görülür.

Sabit ivmeli hareket

İvmesi sabit olan bir cismin hızı her saniye aynı miktarda değişir. İlk hızı \(v_0\), ivmesi \(a\) olan bir cisim için:

Üçüncü denklem zamanın verilmediği ya da sorulmadığı sorularda çok işe yarar. Ortalama hız sabit ivmede \(\bar v = (v_0 + v)/2\) olduğundan \(x = \tfrac{v_0 + v}{2}\,t\) de yazılabilir.

Grafikler: Konum–zaman grafiğinin eğimi hızı, hız–zaman grafiğinin eğimi ivmeyi, hız–zaman grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi, ivme–zaman grafiğinin altındaki alan hız değişimini verir. Sabit ivmede konum–zaman grafiği bir paraboldür. Hız–zaman grafiği zaman ekseninin altına geçerse cisim yön değiştirmiştir; altta kalan alan ters yöndeki yer değiştirmedir.

Durgun hâlden başlayan sabit ivmeli bir cismin ardışık eşit sürelerde aldığı yollar 1 : 3 : 5 : 7 … oranındadır. Toplam yol ise sürenin karesiyle artar: 1 : 4 : 9 : 16 …

Serbest düşme ve düşey atış

Hava direnci önemsenmezse bütün cisimler kütlelerinden bağımsız olarak \(g \approx 10\ \text{m/s}^2\) ivmeyle düşer. Serbest bırakılan bir cisim için \(v = g\,t\) ve \(h = \tfrac12 g\,t^2\)'dir. Yukarı doğru \(v_0\) hızıyla atılan bir cisim:

• En tepeye \(t_{\text{çıkış}} = v_0/g\) sürede ulaşır; tepede hızı sıfırdır ama ivmesi yine \(g\)'dir.
• Çıkabileceği en büyük yükseklik \(h_{\max} = v_0^2/2g\)'dir.
• Aynı seviyeye aynı hız büyüklüğüyle geri döner; iniş süresi çıkış süresine eşittir.

Cisimlerin kütleden bağımsız aynı ivmeyle düştüğünü ilk kez Galileo savunmuştu. 1971'de Apollo 15 astronotu David Scott, havanın olmadığı Ay yüzeyinde bir çekiç ile bir şahin tüyünü aynı anda bırakarak bunu gösterdi: ikisi de aynı anda yere düştü. Dünya'da tüyün yavaş düşmesinin nedeni kütlesi değil, ağırlığına göre çok büyük olan hava direncidir. Ağır bir cisme daha büyük kuvvet etki eder ama eylemsizliği de aynı oranda büyüktür; bu yüzden \(a = mg/m = g\) olur.

Bir yüksekliğin üstünden atılan cisimler için en güvenli yol, yukarıyı pozitif seçip \(y = v_0 t - \tfrac12 g t^2\) denklemini tek parça hâlinde kullanmaktır; yere çarpma anında \(y = -h\) yazılır.

Hava direnci ve limit hız

Gerçekte düşen cisimlere hızla artan bir hava direnci etki eder. Cisim hızlandıkça direnç büyür, net kuvvet ve ivme küçülür. Direnç ağırlığa eşit olduğunda ivme sıfırlanır ve cisim limit hızla sabit düşer. Hava direnci hıza, cismin kesit alanına, biçimine ve havanın yoğunluğuna bağlıdır. Paraşüt açılınca kesit alanı büyür, limit hız birkaç m/s'ye iner ve paraşütçü güvenle yere iner.