Kütle Merkezi ve Basit Makineler

Kütle merkezi

Bir cismin ya da cisimler sisteminin bütün kütlesi tek bir noktada toplanmış gibi davrandığı noktaya kütle merkezi (KM) denir. Bir çekicin havaya fırlatıldığını düşün: sap ve baş karmaşık biçimde döner, ama kütle merkezi tıpkı küçük bir taş gibi düzgün bir parabol çizer. Bu yüzden kütle merkezi, karmaşık cisimlerin hareketini tek bir nokta gibi incelemeyi sağlar.

Bir doğru üzerindeki noktasal kütleler için kütle merkezinin konumu, konumların kütlelerle ağırlıklandırılmış ortalamasıdır:

Düzlemdeki cisimler için aynı formül \(x\) ve \(y\) koordinatlarına ayrı ayrı uygulanır. Kütle merkezi her zaman ağır kütleye daha yakındır. İki kütle için kütle merkezine olan uzaklıklar kütlelerle ters orantılıdır: \(m_1 d_1 = m_2 d_2\). Bu eşitlik, aslında tahterevalli dengesinin aynısıdır; kütle merkezinden desteklenen bir sistem dengede kalır.

Türdeş levhalar ve çubuklar

Türdeş (her yerinde yoğunluğu aynı) ve simetrik cisimlerin kütle merkezi geometrik merkezlerindedir: düzgün çubuğun ortası, dikdörtgenin köşegenlerinin kesiştiği nokta, dairenin ve kürenin merkezi. Bir cismin simetri ekseni varsa kütle merkezi o eksenin üzerindedir; iki simetri ekseni varsa kesişim noktasındadır.

Karmaşık biçimli bir levha, kütle merkezi bilinen basit parçalara bölünür. Her parça kendi merkezine konmuş, kütlesi alanıyla orantılı bir noktasal kütle gibi düşünülür. Türdeş levhada kütle alanla orantılı olduğu için formüldeki \(m\) yerine alan yazılabilir:

Bir dikkat noktası: L biçimli bir levhanın kütle merkezi levhanın dışında da olabilir. Halka, at nalı ve bumerang gibi cisimlerin kütle merkezi cismin üzerinde değil, boşlukta bir noktadadır. Yüksek atlamacıların "Fosbury" tekniğinde sporcu, sırtını bükerek kütle merkezini vücudunun dışına taşır; böylece vücudu çıtanın üstünden geçerken kütle merkezi çıtanın altından geçebilir.

Oyuk cisimler: negatif kütle yöntemi

Bir levhadan bir parça kesilip çıkarılırsa kalan parçanın kütle merkezi, çıkarılan parçanın ters tarafına kayar. Hesap için kesilen parça "negatif kütle" gibi alınır:

Burada \(M\) bütün (kesilmemiş) levhanın kütlesi ya da alanı, \(m\) çıkarılan parçanınkidir. Örneğin yarıçapı \(R\) olan bir diskten, kenarına teğet ve yarıçapı \(R/2\) olan bir daire kesilirse: çıkarılan alan bütün alanın dörtte biridir ve merkezi asıl merkezden \(R/2\) uzaktadır. Kalan parçanın kütle merkezi, ters tarafta \(\dfrac{(1/4)(R/2)}{3/4} = R/6\) uzaklıktadır.

Kütle merkezinin hareketi

Bir sisteme dışarıdan net kuvvet etki etmiyorsa sistemin parçaları birbirini itse ya da çekse bile kütle merkezinin hızı değişmez. Durgun bir sistemde kütle merkezi yerinde kalır. Durgun suda duran bir kayığın bir ucundan diğer ucuna yürüyen biri, kayığı ters yöne iter; kişi ile kayığın ortak kütle merkezi ise kıyıya göre hiç kıpırdamaz. Kişinin kütlesi \(m\), kayığınki \(M\) ise kişinin kıyıya göre yer değiştirmesi \(x_1\), kayığınki \(x_2\) olmak üzere \(m x_1 = M x_2\) yazılır. Havada patlayan bir havai fişeğin parçaları da her yöne saçılır, ama hava direnci ihmal edilirse parçaların kütle merkezi, patlama olmasaydı fişeğin izleyeceği parabolü izlemeye devam eder.

Ağırlık merkezi, denge ve devrilme

Yer çekimi alanının düzgün olduğu yerlerde (Dünya yüzeyindeki her günlük cisim için) ağırlık merkezi kütle merkeziyle çakışır; bir cismin ağırlığı bu noktadan etki ediyormuş gibi alınır. Çok yüksek bir gökdelende alt katlar biraz daha güçlü çekildiği için iki nokta teorik olarak birkaç milimetre ayrılır; YKS sorularında bu fark hep ihmal edilir.

Bir cismi bir noktasından asarsak cisim, ağırlık merkezi asma noktasının tam altına gelecek biçimde durur. Düzensiz bir karton parçasını iki ayrı noktasından asıp her seferinde düşey çizgiyi çizersek, iki çizginin kesiştiği nokta ağırlık merkezidir. Bu, laboratuvarda ağırlık merkezi bulmanın klasik yöntemidir.

Bir tabanı üzerinde duran cisim, ağırlık merkezinden geçen düşey doğru taban alanının içinden geçtiği sürece devrilmez. Cisim eğildikçe bu doğru tabanın kenarına yaklaşır; kenarı geçtiği anda ağırlığın torku cismi devirir. Ağırlık merkezi ne kadar alçak ve taban ne kadar geniş olursa cisim o kadar fazla eğilebilir; bu yüzden yarış arabaları basık yapılır, ağır yükler kamyonların ve otobüslerin altına yerleştirilir, Pisa Kulesi yüzyıllardır eğik hâlde ayakta durur.

Basit makineler ve iş ilkesi

Basit makineler, bir işi daha küçük kuvvetle ya da daha uygun yönde yapmamızı sağlayan araçlardır. Ama hiçbir basit makine işten kazanç sağlamaz. Sürtünmesiz (ideal) bir makinede kuvvetin yaptığı iş, yükün kazandığı enerjiye eşittir:

Kuvvetten ne kadar kazanılırsa yoldan o kadar kaybedilir: kuvvet yarıya inerse kuvvetin uygulandığı noktanın aldığı yol iki katına çıkar. Yükün kuvvete oranına mekanik avantaj denir:

Gerçek makinelerde sürtünme ve makine parçalarının ağırlığı yüzünden uygulanan işin bir kısmı ısıya dönüşür. Bu yüzden verim her zaman %100'ün altındadır:

Kaldıraç

Bir destek etrafında dönebilen sert çubuğa kaldıraç denir. Desteğe göre torklar eşitlenir:

Burada \(d_F\) kuvvet kolu, \(d_Y\) yük koludur. Kuvvet kolu yük kolundan uzunsa kuvvetten kazanç vardır. Destek, yük ve kuvvetin sırasına göre üç tür kaldıraç vardır:

Üçüncü tip kaldıraçlar kuvvetten kaybettirir ama yoldan ve hızdan kazandırır: dirsekten uzaktaki el, ön kolu bükmeye çalışan pazı kasından çok daha hızlı ve uzun bir yol alır. Vücudumuzdaki kaldıraçların çoğu bu türdendir; kaslarımız büyük kuvvetler üretir, uzuvlarımız da hızlı hareket eder.

Makaralar ve palangalar

• Sabit makara: Ekseni sabittir. Yalnızca kuvvetin yönünü değiştirir; ideal durumda \(F = Y\). Bayrak direği ve kuyu makarası örnektir.
• Hareketli makara: Yükle birlikte hareket eder ve yükü iki ip kolu taşır. İdeal durumda \(F = Y/2\); ama yükü 1 m kaldırmak için ip 2 m çekilir.
• Palanga: Sabit ve hareketli makaraların birleşimidir. Hareketli makara grubunu taşıyan ip kolu sayısı \(n\) ise:

Burada \(G_{\text{makara}}\), hareketli makaraların toplam ağırlığıdır; ağırlıksız makaralarda \(F = Y/n\) olur. Kuvvetin uygulandığı ip ucu, yükün aldığı yolun \(n\) katı kadar yol alır.

Eğik düzlem ve vida

Yükü doğrudan \(h\) yüksekliğe kaldırmak yerine, uzunluğu \(L\) olan sürtünmesiz bir eğik düzlem boyunca itersek iş ilkesinden:

Düzlem ne kadar uzun (eğim ne kadar az) olursa gereken kuvvet o kadar küçük, yol o kadar uzun olur. Dağ yollarının virajlı yapılması, rampaların ve merdivenlerin eğimi bu ilkeye dayanır.

Vida, bir silindirin çevresine sarılmış bir eğik düzlemdir. Vida bir tam tur döndüğünde, vida adımı (\(a\)) denen iki diş arası uzaklık kadar ilerler. Vidayı çeviren kuvvet bir turda \(2\pi R\) kadar yol alırken yük \(a\) kadar yer değiştirir:

Adım çok küçük, kol uzun olduğu için vidalar çok büyük mekanik avantaj sağlar. Bir otomobili tek elle kaldıran vidalı kriko ve mengene bunun örnekleridir.

Çıkrık

Aynı eksen etrafında birlikte dönen büyük bir kol (ya da tekerlek) ile küçük bir silindirden oluşan makineye çıkrık denir. Kuvvet kolun ucuna (yarıçap \(R\)), yük silindire sarılı ipe (yarıçap \(r\)) uygulanır:

Kol bir tur döndüğünde kuvvet \(2\pi R\), yük ise \(2\pi r\) yol alır. Kuyu çıkrığı, kapı kolu, tornavida, direksiyon ve bisikletin pedal–aynakol sistemi çıkrık ilkesiyle çalışır.

Dişliler ve kasnaklar

Birbirine geçen iki dişlide, birim zamanda temas noktasından geçen diş sayısı ikisinde de aynıdır:

Burada \(n\) tur sayısı, \(d\) diş sayısıdır. Diş sayısı yarıçapla orantılı olduğu için \(n_1 r_1 = n_2 r_2\) de yazılabilir: küçük dişli daha çok tur atar. Birbirine doğrudan geçen dişliler zıt yönde döner; araya üçüncü bir dişli konursa ilk ve son dişli aynı yönde döner.

Kasnaklar bir kayış ya da zincirle birbirine bağlanır. Kayış kaymıyorsa çizgisel hızı her yerde aynıdır, bu yüzden yine \(n_1 r_1 = n_2 r_2\) geçerlidir. Düz kayışla bağlı kasnaklar aynı yönde, çapraz kayışla bağlı kasnaklar zıt yönde döner. Aynı mile takılı kasnak ve dişliler ise yarıçapları farklı olsa da her zaman aynı tur sayısıyla ve aynı yönde döner. Bisiklette pedalla birlikte dönen ön dişli, zincirle küçük arka dişliye bağlıdır; arka dişli de arka tekerlekle aynı milde olduğu için tekerlek, pedaldan kat kat fazla tur atar.

Birleşik sistemlerde çözüm yolu

ÖSYM, kaldıraç, makara ve eğik düzlemi tek bir düzenekte birleştirmeyi sever. Bu tür sorularda sistemi yükten kuvvete doğru parça parça çözmek en güvenli yoldur:

1. Yükün bağlı olduğu ilk makineyi bul ve ipteki gerilmeyi yük cinsinden yaz.
2. Bu gerilmeyi bir sonraki makinenin "yükü" kabul et ve aynı işlemi tekrarla.
3. Son makinede kuvvetin uygulandığı noktaya ulaşınca \(F/Y\) oranını oku.
4. Toplam mekanik avantaj, ara makinelerin mekanik avantajlarının çarpımıdır.

Örneğin mekanik avantajı 3 olan bir eğik düzlemdeki yük, mekanik avantajı 2 olan bir hareketli makarayla çekiliyorsa sistemin toplam mekanik avantajı \(3 \cdot 2 = 6\)'dır. Verimler de aynı biçimde çarpılır: %80 ve %90 verimli iki makine art arda bağlanırsa toplam verim \(0{,}8 \cdot 0{,}9 = \%72\) olur.

Kama, iki eğik düzlemin sırt sırta birleştirilmesidir. Balta, bıçak, çivi ve keski birer kamadır; ince ve uzun kamalar daha az kuvvetle daha derine girer.