İş, Enerji, İtme ve Momentum

İş ve değişken kuvvetler

Bir kuvvet, uygulandığı cismi kendi doğrultusunda hareket ettirdiğinde iş yapar. Sabit bir kuvvetin, cismin yer değiştirmesiyle \(\theta\) açısı yaptığı durumda yaptığı iş:

Kuvvet hareket yönündeyse iş pozitif, harekete zıtsa negatiftir; harekete dikse (örneğin çembersel harekette merkezcil kuvvet ya da yatay yolda ağırlık) iş yapmaz. İşin birimi joule'dür: 1 J = 1 N·m.

Fizikteki iş, günlük dildeki "çalışmak" ile aynı şey değildir. Ağır bir valizi saatlerce elinde hareketsiz tutan biri yorulur ama valize iş yapmaz, çünkü valiz yer değiştirmez. Valizi sabit yükseklikte taşıyarak yatay yürüyen biri de valize (ideal durumda) iş yapmaz: el kuvveti yukarı, hareket yataydır. Valizi merdivenden yukarı taşıyan kişi ise valize \(mgh\) kadar iş yapar.

Kuvvet yol boyunca değişiyorsa iş, kuvvet–yol grafiğinin altındaki alana eşittir. Bu yöntem, sabit olmayan kuvvetler için de doğru sonuç verir: grafik yamuk, üçgen ya da dikdörtgen parçalara bölünür ve alanlar toplanır. Grafiğin zaman ekseninin altına geçen kısımları negatif iştir.

İş–enerji teoremi

Bir cisme etki eden bütün kuvvetlerin (yani net kuvvetin) yaptığı toplam iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir:

Bu teorem Newton'un ikinci yasasının enerji diliyle söylenişidir ve ivme ya da süre bilinmeden hız bulmayı sağlar. Net iş pozitifse cisim hızlanır, negatifse yavaşlar, sıfırsa hızın büyüklüğü değişmez.

Potansiyel enerji ve yay

Yerden \(h\) yükseklikteki bir cismin yer çekimi potansiyel enerjisi \(E_p = mgh\)'dir. Bu enerji, cismin konumundan dolayı sahip olduğu iş yapabilme yeteneğidir ve sıfır seviyesinin seçimine bağlıdır; ama iki nokta arasındaki potansiyel enerji farkı seçimden bağımsızdır.

Yay sabiti \(k\) olan bir yay \(x\) kadar sıkıştırılır ya da gerilirse yay, şekil değişimine zıt yönde \(F = k\,x\) büyüklüğünde bir kuvvet uygular (Hooke yasası). Bu kuvvet uzanımla doğrusal arttığı için kuvvet–uzanım grafiği bir doğrudur ve altındaki üçgenin alanı yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisini verir:

Yay iki kat sıkıştırılırsa kuvvet iki, enerji dört katına çıkar. Okçunun yayı, araba süspansiyonu ve tramplen, esneklik potansiyel enerjisini depolayıp geri veren düzeneklerdir.

Mekanik enerjinin korunumu

Kinetik ve potansiyel enerjinin toplamına mekanik enerji denir. Bir cisim üzerinde yalnızca yer çekimi ve yay kuvveti gibi korunumlu kuvvetler iş yapıyorsa mekanik enerji korunur:

Korunumlu kuvvetlerin yaptığı iş izlenen yola bağlı değildir. Bu yüzden sürtünmesiz bir yoldan inen cismin hızı, yolun eğrisine değil yalnızca yükseklik farkına bağlıdır: \(v = \sqrt{2gh}\). Dik bir kaydıraktan ya da yatık bir rampadan aynı yükseklikten inen iki çocuk alta aynı hızla varır; yalnızca varış süreleri farklıdır.

Düşey yay sistemleri

Bir cisim yukarıdan düşey bir yayın üzerine düştüğünde enerji üç biçim arasında dönüşür: yer çekimi potansiyel enerjisi, kinetik enerji ve yayın esneklik enerjisi. Bu tür sorularda üç önemli nokta vardır:

• Cisim yaya değdiği anda yay henüz sıkışmamıştır; cisim hızlanmaya devam eder.
• Cismin hızı, yay kuvvetinin ağırlığa eşit olduğu noktada (\(k\,x_0 = mg\)) en büyüktür; bu noktada ivme sıfırdır.
• En büyük sıkışmada cisim anlık olarak durur; burada bütün enerji yayda ve ivme yukarı yönlüdür.

En büyük sıkışma, cismin bırakıldığı nokta ile en alt nokta arasındaki toplam yükseklik farkı için \(mg(h + x) = \tfrac12 k x^2\) yazılarak bulunur. Tramplen sporcuları, bunjee atlayıcıları ve araba amortisörleri bu enerji alışverişinin günlük örnekleridir.

Sürtünme ve enerji kaybı

Sürtünme kuvveti harekete zıt yönlü olduğu için negatif iş yapar ve mekanik enerjinin bir kısmını ısıya dönüştürür. Toplam enerji yine korunur, ama mekanik enerji azalır:

Burada \(f \cdot d\), sürtünmenin ısıya dönüştürdüğü enerjidir. Yatay bir yüzeyde \(f = k\,mg\) olduğundan, \(h\) yüksekliğinden sürtünmesiz bir yoldan inip sürtünmeli yatay yolda duran bir cismin aldığı yol kütleden bağımsızdır: \(d = h/k\).

Enerjinin korunumu ilkesi

Mekanik enerji korunmayabilir, ama toplam enerji her zaman korunur: enerji yoktan var edilemez ve var olan enerji yok edilemez, yalnızca bir türden başka bir türe dönüşür. Sürtünmeyle kaybolan mekanik enerji iç enerjiye (ısıya), frenleme sırasında kaybolan kinetik enerji balatalarda ısıya, elektrikli araçlarda ise kısmen yeniden aküye dönüşür. 19. yüzyılda James Joule, düşen ağırlıkların döndürdüğü kanatlarla suyu karıştırarak suyun ısındığını ölçmüş; belirli miktarda mekanik işin her zaman aynı miktarda ısı ürettiğini göstermiştir. Enerjinin birimine onun adı bu yüzden verilmiştir. Bir problemde "sürtünme yok" denmiyorsa, kaybolan enerjinin nereye gittiğini her zaman sorgulamak gerekir.

Güç ve verim

Birim zamanda yapılan işe ya da aktarılan enerjiye güç denir:

Gücün birimi watt'tır (1 W = 1 J/s). İkinci biçim, sabit hızla hareket eden bir aracın motorunun gücünü bulmakta kullanılır: motorun uyguladığı çekiş kuvveti ile aracın hızının çarpımı güce eşittir. Bir motorun verimi, yararlı güç çıkışının harcanan güce oranıdır: \(\eta = P_{\text{çıkış}}/P_{\text{giriş}}\). Elektrik faturalarındaki kilowatt-saat (kWh) bir güç değil, enerji birimidir: 1 kWh = 3,6 · 10⁶ J.

İtme ve momentum

Bir cismin momentumu (çizgisel momentumu) kütlesi ile hızının çarpımıdır ve hızla aynı yönde bir vektördür:

Bir cisme \(\Delta t\) süresince etki eden kuvvetin itmesi, kuvvet ile sürenin çarpımıdır ve cismin momentumundaki değişime eşittir:

Bu, Newton'un ikinci yasasının asıl biçimidir: net kuvvet, momentumun zamanla değişim hızıdır. İtmenin birimi N·s, momentumun birimi kg·m/s'dir; ikisi eşdeğerdir.

Kuvvet çarpışma süresince değişiyorsa itme, kuvvet–zaman grafiğinin altındaki alana eşittir. Aynı momentum değişimi daha uzun sürede gerçekleşirse ortalama kuvvet küçülür. Hava yastıkları, kasklardaki köpük, jimnastik minderleri ve yüksekten atlarken dizlerin bükülmesi bu ilkeye dayanır: momentum değişimi aynıdır ama süre uzadığı için vücuda etki eden kuvvet küçülür.

Momentumun korunumu

Bir sisteme net dış kuvvet etki etmiyorsa sistemin toplam momentumu korunur. Çarpışma ve patlamalarda cisimlerin birbirine uyguladığı kuvvetler iç kuvvettir; Newton'un üçüncü yasasına göre eşit ve zıttır, bu yüzden toplam momentumu değiştirmez:

Çarpışma süresi çok kısa olduğu için sürtünme ve yer çekimi gibi dış kuvvetlerin bu sürede yaptığı itme genellikle ihmal edilir. Momentum korunumu, enerji korunumu ile birlikte çarpışma sorularının iki temel aracıdır.

Esnek çarpışma: Hem momentum hem kinetik enerji korunur. Eşit kütleli iki cisim merkezi esnek çarpışmada hızlarını değiş tokuş eder: duran bir bilardo topuna çarpan top durur, çarpılan top aynı hızla yoluna devam eder. Hafif bir cisim duran ağır bir cisme çarparsa geri sıçrar; ağır bir cisim duran hafif bir cisme çarparsa yoluna devam eder ve hafif cismi kendi hızının neredeyse iki katıyla fırlatır.

Esnek çarpışmanın genel sonucu: Duran bir \(m_2\) cismine \(v_1\) hızıyla çarpan \(m_1\) cismi için momentum ve enerji denklemleri birlikte çözülürse:

Bu formüller üç önemli durumu özetler: \(m_1 = m_2\) ise \(v_1' = 0\) ve \(v_2' = v_1\) (hızlar değiş tokuş edilir); \(m_1 \ll m_2\) ise \(v_1' \approx -v_1\) (top duvardan sıçrar gibi geri döner); \(m_1 \gg m_2\) ise \(v_2' \approx 2v_1\) (ağır cisim hafifi kendi hızının iki katıyla fırlatır). Merkezi esnek çarpışmada ayrıca yaklaşma hızı uzaklaşma hızına eşittir: \(v_1 - v_2 = v_2' - v_1'\). Bu bağıntı, ikinci dereceden enerji denklemi yerine birinci dereceden bir denklem kullanmayı sağlar ve hesabı çok kısaltır.

Yapışarak çarpışma: Cisimler çarpışmadan sonra birlikte hareket eder:

Bu durumda kinetik enerji kaybı en büyüktür; kaybolan enerji ısıya, sese ve şekil değiştirmeye gider.

Patlama: Başlangıçta duran bir sistemin toplam momentumu sıfırdır; bu yüzden parçaların momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür: \(m_1 v_1 = m_2 v_2\). Hafif parça daha hızlı gider ve kinetik enerjinin büyük kısmını o alır. Tüfeğin geri tepmesi, roket motorları ve bir kayıktan karaya atlayan kişinin kayığı geriye itmesi bu ilkeyle açıklanır.

Momentum, kinetik enerji ve kütle merkezi

Momentum ile kinetik enerji arasında kullanışlı bir bağıntı vardır:

Aynı momentuma sahip iki cisimden hafif olanın kinetik enerjisi daha büyüktür. Bu yüzden patlamada eşit momentumla ayrılan parçalardan hafif olan, enerjinin büyük kısmını alır; tüfek ateşlendiğinde neredeyse bütün enerji mermiye gider ve omza gelen geri tepme zarar vermez. Tersine, aynı kinetik enerjiye sahip cisimlerden ağır olanın momentumu daha büyüktür: \(p = \sqrt{2 m E_k}\).

Bir sistemin toplam momentumu, toplam kütle ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir: \(\vec p_{\text{toplam}} = M\,\vec v_{\text{KM}}\). Momentum korunuyorsa kütle merkezinin hızı da sabittir. Bu, patlayan bir havai fişeğin parçalarının kütle merkezinin, patlama olmamış gibi parabol çizmeye devam etmesinin nedenidir. Çarpışan iki arabanın kütle merkezi de çarpışmadan önce ve sonra aynı hızla ilerler; çarpışma yalnızca bu merkeze göre olan hareketi değiştirir.

İki boyutta momentum

Momentum vektör olduğu için iki boyutlu çarpışmalarda her bileşen ayrı ayrı korunur: \(\sum p_x\) ve \(\sum p_y\) çarpışmadan önce ve sonra aynıdır. Bir kavşakta biri doğuya, diğeri kuzeye giden iki araba çarpışıp yapışırsa, ortak momentum iki momentumun vektörel toplamıdır ve enkaz bu toplamın yönünde kayar. Trafik kazalarında bilirkişiler, enkazın kayma yönünden ve uzunluğundan araçların çarpışma öncesi hızlarını bu yolla hesaplar.

Balistik sarkaç

Bir merminin hızını ölçmek için kullanılan balistik sarkaç, iki korunum yasasının sırayla uygulanmasının klasik örneğidir. Mermi asılı bir bloğa saplanır: bu kısa çarpışmada momentum korunur, ama kinetik enerji korunmaz. Ardından blok ile mermi birlikte yükselir: bu salınımda mekanik enerji korunur. Yükseklik ölçülerek önce ortak hız, oradan da merminin hızı bulunur.