Basit Harmonik Hareket
Geri çağırıcı kuvvet ve basit harmonik hareketin tanımı; genlik, periyot, frekans ve açısal frekans; konum, hız ve ivmenin konuma ve zamana göre değişimi; düzgün çembersel hareketle ilişki; yay–kütle sistemi, yayların bağlanması, düşey yay; basit sarkaç ve etkin yer çekimi; enerji dönüşümleri, sönümlü salınım ve rezonans.
- Bir hareketin basit harmonik olması için gereken geri çağırıcı kuvvet koşulunu
- Genlik, periyot, frekans ve açısal frekans arasındaki ilişkileri
- Konum, hız ve ivmenin konuma ve zamana göre nasıl değiştiğini; grafikleri yorumlamayı
- Yay–kütle sisteminin ve basit sarkacın periyodunu ve bu periyodun neye bağlı olduğunu
- Seri ve paralel bağlı yaylarda, düşey yayda ve ivmeli ortamlarda periyot değişimini
- Salınımdaki enerji dönüşümlerini, sönümü ve rezonansı
Salınım ve geri çağırıcı kuvvet
Bir salıncak, bir saat sarkacı, bir gitar teli, bir arabanın amortisörü ve hatta bir kristalin içindeki atomlar, bir denge noktası etrafında ileri geri hareket eder. Belirli sürelerde kendini tekrar eden bu harekete periyodik hareket, bir denge noktası etrafındaki ileri geri harekete salınım (titreşim) denir.
Salınımın nedeni, cisim denge noktasından uzaklaştığında onu geri çeken bir geri çağırıcı kuvvettir. Bu kuvvet uzaklaşmayla doğru orantılıysa ve her zaman denge noktasına doğruysa hareket basit harmonik hareket (BHH) adını alır:
Eksi işaret, kuvvetin her zaman uzanıma zıt yönde, yani denge noktasına doğru olduğunu gösterir. Newton'un ikinci yasasından ivme \(a = -(k/m)\,x\) bulunur: basit harmonik harekette ivme konumla doğru orantılı ve ters işaretlidir. Basit harmonik hareket, fizikte en çok karşılaşılan hareketlerden biridir, çünkü hemen her kararlı denge noktasının çevresindeki küçük salınımlar yaklaşık olarak basit harmoniktir.
Temel büyüklükler
- Uzanım (\(x\)): Cismin denge noktasına olan uzaklığı (yönlü).
- Genlik (\(A\)): En büyük uzanım. Cisim \(-A\) ile \(+A\) arasında salınır; bir tam salınımda \(4A\) yol alır.
- Periyot (\(T\)): Bir tam salınımın süresi.
- Frekans (\(f\)): Bir saniyedeki salınım sayısı; \(f = 1/T\).
- Açısal frekans (\(\omega\)): \(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\).
Basit harmonik hareketin en önemli özelliği, periyodun genlikten bağımsız olmasıdır. Bir sarkacı biraz ya da biraz daha fazla çekip bıraksanız da (küçük açılarda) bir tam salınımı aynı sürede yapar. Galileo bu özelliği, Pisa Katedrali'ndeki bir avizenin salınımlarını nabzıyla ölçerek fark etmiş ve sarkaçlı saatlerin yolunu açmıştı.
Konum, hız ve ivme
Yay–kütle sisteminde cisim uç noktalarda (\(\pm A\)) bir an durur ve geri döner; denge noktasından ise en büyük hızla geçer. Bu yüzden:
- Uç noktalarda hız sıfırdır; geri çağırıcı kuvvet ve ivme en büyüktür.
- Denge noktasında kuvvet ve ivme sıfırdır; hız en büyüktür.
En büyük hız ve ivme genlik ile açısal frekanstan bulunur:
Herhangi bir \(x\) konumundaki hız ve ivme ise:
Hareketin zamana bağlı denklemleri, cisim \(t = 0\)'da \(+A\) konumundan bırakılırsa \(x = A\cos(\omega t)\), \(v = -A\omega\sin(\omega t)\) ve \(a = -A\omega^2\cos(\omega t)\) olur. Konum ile ivme her an zıt işaretlidir; hız ise konumdan bir çeyrek periyot ileridedir.
Düzgün çembersel hareketle ilişki
Düzgün çembersel hareket yapan bir noktanın bir çap üzerindeki izdüşümü (gölgesi) basit harmonik hareket yapar. Yarıçap genliğe, açısal hız açısal frekansa karşılık gelir: çember üzerindeki noktanın çizgisel hızı \(A\omega\), merkezcil ivmesi \(A\omega^2\)'dir ve bunlar izdüşümün en büyük hızı ve en büyük ivmesidir. Bu benzetme, basit harmonik hareketteki süre sorularını açı hesabına çevirir: cismin bir konumdan diğerine gitme süresi, çember üzerindeki noktanın taradığı açının \(2\pi\)'ye oranının \(T\) ile çarpımıdır.
Yay–kütle sistemi
Yay sabiti \(k\) olan bir yaya bağlı \(m\) kütleli bir cisim için \(\omega^2 = k/m\)'dir ve periyot:
Periyot kütle arttıkça uzar, yay sertleştikçe kısalır; genliğe ve yer çekimine bağlı değildir. Aynı yay–kütle sistemi Ay'da da, uzay istasyonunda da aynı periyotla salınır. Bu yüzden uzay istasyonunda astronotların kütlesi, salınan bir sandalyenin periyodu ölçülerek bulunur.
Düşey yay: Bir yaya düşey olarak \(m\) kütleli bir cisim asılırsa yay \(\Delta x = m g/k\) kadar uzar ve cisim bu yeni denge noktasında durur. Cisim bu noktadan aşağı çekilip bırakılırsa yeni denge noktası etrafında, yatay sistemdekiyle aynı periyotla salınır; yer çekimi yalnızca denge noktasını kaydırır. Bu bağıntıdan ilginç bir sonuç çıkar: \(m/k = \Delta x/g\) olduğundan \(T = 2\pi\sqrt{\Delta x/g}\) yazılabilir; yayın uzama miktarı ölçülerek periyot hesaplanabilir.
Yayların bağlanması: Özdeş iki yay seri bağlanırsa her biri aynı kuvveti taşır ama toplam uzama iki katına çıkar; sistem yumuşar: \(1/k_{\text{eş}} = 1/k_1 + 1/k_2\). Özdeş iki yay paralel bağlanırsa yük iki yaya paylaşılır; sistem sertleşir: \(k_{\text{eş}} = k_1 + k_2\). Bir yay ortadan ikiye kesilirse her parçanın yay sabiti iki katına çıkar, çünkü aynı kuvvetle yarı kadar uzar.
Basit sarkaç
Uzunluğu \(L\) olan hafif bir ipin ucuna asılmış küçük bir kütleye basit sarkaç denir. Sarkaç denge konumundan \(\theta\) açısı kadar ayrıldığında ağırlığın ipe dik bileşeni \(m g\sin\theta\) cismi geri çağırır. Küçük açılarda (yaklaşık 10°'den küçük) \(\sin\theta \approx \theta = x/L\) olduğundan geri çağırıcı kuvvet uzanımla orantılıdır ve hareket basit harmoniktir:
Basit sarkacın periyodu ipin uzunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır; cismin kütlesine ve (küçük açılarda) genliğe bağlı değildir. Sarkacın uzunluğu 4 katına çıkarılırsa periyot 2 katına çıkar. Aynı sarkaç Ay'a götürülürse \(g\) yaklaşık altıda birine indiği için periyot \(\sqrt6 \approx 2{,}45\) kat uzar.
Periyodu tam 2 s olan, yani her yarım salınımı 1 s süren sarkaca saniye sarkacı denir; Dünya'da uzunluğu yaklaşık 1 m'dir. Sarkaçlı saatler yaz aylarında genellikle geri kalır: sıcakta metal sarkaç çubuğu uzar, periyot büyür ve saat daha yavaş işler. Saat ayarlanırken sarkacın ağırlığı yukarı ya da aşağı kaydırılarak etkin uzunluk değiştirilir.
Sarkaçlı saatler 1656'da Christiaan Huygens tarafından yapıldı ve günlük hata birkaç dakikadan birkaç saniyeye indi. Bu hassasiyet, denizde boylam hesabı ve gök cisimlerinin gözlemi için devrim niteliğindeydi. Foucault sarkacı ise uzun bir ipe asılı ağır bir küredir; salınım düzleminin gün içinde yavaşça dönmesi Dünya'nın kendi ekseni etrafında döndüğünü gösterir.
Etkin yer çekimi: İvmeli bir ortamda sarkacın periyodu, \(g\) yerine etkin yer çekimi ivmesi kullanılarak bulunur. Yukarı doğru \(a\) ivmesiyle hızlanan bir asansörde \(g_{\text{etkin}} = g + a\) olur ve periyot kısalır; aşağı doğru \(a\) ivmesiyle hızlanan asansörde \(g_{\text{etkin}} = g - a\) olur ve periyot uzar. Serbest düşen bir asansörde \(g_{\text{etkin}} = 0\) olduğu için sarkaç hiç salınmaz. Yatay \(a\) ivmesiyle hızlanan bir araçtaki sarkaç için \(g_{\text{etkin}} = \sqrt{g^2 + a^2}\)'dir. Yay–kütle sisteminin periyodu ise bu durumların hiçbirinde değişmez.
| Değişen etken | Yay–kütle periyodu | Basit sarkaç periyodu |
|---|---|---|
| Kütle 4 katına çıkar | 2 katına çıkar | Değişmez |
| Genlik iki katına çıkar (küçük açı) | Değişmez | Değişmez |
| Sistem Ay'a götürülür | Değişmez | Yaklaşık 2,45 katına çıkar |
| Yukarı ivmeli asansör | Değişmez | Kısalır |
| Yay sabiti / ip uzunluğu 4 katına çıkar | Yarıya iner | 2 katına çıkar |
Basit harmonik harekette enerji
Sürtünme yoksa salınan sistemin mekanik enerjisi korunur; enerji, kinetik ve potansiyel biçimler arasında sürekli dönüşür. Yay–kütle sisteminde:
Uç noktalarda bütün enerji yayda potansiyel enerji olarak depolanır; denge noktasında bütün enerji kinetiktir. Toplam enerji genliğin karesiyle orantılıdır: genlik iki katına çıkarsa enerji dört katına çıkar. Kinetik ve potansiyel enerjilerin eşit olduğu konum \(x = A/\sqrt2\)'dir; \(x = A/2\) konumunda ise potansiyel enerji toplamın dörtte biri, kinetik enerji dörtte üçüdür.
Bir periyot içinde kinetik ve potansiyel enerji iki kez en büyük değerine ulaşır. Bu yüzden enerjilerin salınım periyodu, hareketin periyodunun yarısıdır.
Başka basit harmonik salınıcılar
Geri çağırıcı kuvveti uzanımla orantılı olan her sistem basit harmonik hareket yapar ve periyodu her zaman \(T = 2\pi\sqrt{\text{eylemsizlik}/\text{geri çağırıcı katsayı}}\) biçimindedir:
- U borusundaki sıvı: Bir U borusundaki sıvı bir kolda bastırılıp bırakılırsa sıvı sütunu ileri geri salınır. Sıvı sütununun toplam uzunluğu \(L\) ise periyot \(T = 2\pi\sqrt{L/2g}\)'dir; sıvının yoğunluğuna bağlı değildir.
- Suda yüzen cisim: Suda dik yüzen bir silindir biraz bastırılıp bırakılırsa kaldırma kuvvetindeki fazlalık onu geri iter ve silindir aşağı yukarı salınır.
- Elektrik salınımı: Bir sığaç ile bir bobinden oluşan LC devresinde enerji, sığacın elektrik alanı ile bobinin manyetik alanı arasında gidip gelir. Yük ve akım basit harmonik olarak değişir ve frekans \(f = 1/(2\pi\sqrt{LC})\)'dir. Burada bobin kütlenin, sığacın tersi yayın rolünü oynar.
Atom ve moleküllerin titreşimleri, kuvars saatlerdeki kristalin titreşimi ve ses dalgalarındaki hava moleküllerinin hareketi de basit harmonik hareketin örnekleridir.
Faz kavramı
Aynı frekansla salınan iki sistemin aynı anda aynı durumda olup olmadığını faz belirler. İki sarkaç aynı anda aynı yöne en büyük uzanıma ulaşıyorsa aynı fazda, biri sağ uçtayken diğeri sol uçtaysa zıt fazda (180° faz farkı) salınıyordur. Basit harmonik harekette hız konumdan 90° (\(T/4\)) önde, ivme ise konumla 180° zıt fazdadır. Faz kavramı, bir sonraki konu olan dalgalarda girişimi anlamak için temel bir araçtır.
Sönüm ve rezonans
Gerçek sistemlerde sürtünme ve hava direnci mekanik enerjiyi yavaş yavaş ısıya dönüştürür ve genlik zamanla azalır; buna sönümlü salınım denir. Arabaların amortisörleri, çukurdan geçen arabanın yaylarının uzun süre salınmasını engellemek için salınımı bilerek ve hızlıca söndürür. Sönüm, periyodu çok az etkiler; bu yüzden genliği azalan bir salıncak hep aynı ritimde sallanır.
Bir sisteme dışarıdan periyodik bir kuvvet uygulanırsa sistem bu kuvvetin frekansıyla salınır (zorlanmış salınım). Dış kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına eşit olduğunda her itme salınımı büyütür ve genlik çok artar; buna rezonans denir. Salıncaktaki bir çocuğu tam doğru anlarda iterek yükseğe çıkarmak rezonansın günlük bir örneğidir. Bir şarkıcının sesiyle kadeh kırması, askerlerin köprüden adım uydurmadan geçmesi ve binaların deprem dalgalarının frekansından uzak doğal frekanslarla tasarlanması da rezonansla ilgilidir. 1940'ta ABD'deki Tacoma Narrows Köprüsü, rüzgârın oluşturduğu salınımların büyümesiyle yıkılmıştır.
Basit harmonik hareket sorularında çözüm planı
- Sistemi tanı: yay–kütle mi, sarkaç mı? Periyodun hangi niceliklere bağlı olduğunu yaz.
- Açısal frekansı bul: \(\omega = \sqrt{k/m}\) ya da \(\omega = \sqrt{g/L}\).
- Konum verilen sorularda \(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}\), \(a = -\omega^2 x\) ve enerji korunumunu kullan.
- Süre sorularında hareketi çember üzerine taşı ve taranan açıyı bul.
- İvmeli ortamlarda sarkaç için \(g\) yerine \(g_{\text{etkin}}\) koy; yay–kütle periyodunu değiştirme.
Formüller
Çözümlü örnekler
Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg'lık bir cisim, sürtünmesiz yatay düzlemde 10 cm genlikle salınıyor. Açısal frekans, periyot, en büyük hız, en büyük ivme ve toplam enerji nedir? (\(\pi = 3\))
- \(\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{100} = 10\) rad/s; \(T = 2\pi/\omega = 0{,}6\) s.
- \(v_{\max} = A\omega = 0{,}1 \cdot 10 = 1\) m/s; \(a_{\max} = A\omega^2 = 10\) m/s².
- \(E = \tfrac12 k A^2 = \tfrac12 \cdot 50 \cdot 0{,}01 = 0{,}25\) J. Kontrol: \(\tfrac12 m v_{\max}^2 = 0{,}25\) J ✓.
Cevap: 10 rad/s; 0,6 s; 1 m/s; 10 m/s²; 0,25 J
Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg'lık bir cisim 10 cm genlikle salınıyor. Cisim denge noktasından 5 cm uzaktayken hızı, ivmesi ve kinetik enerjisi nedir?
- \(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{0{,}01 - 0{,}0025} = 10 \cdot 0{,}087 \approx 0{,}87\) m/s.
- \(a = -\omega^2 x = -100 \cdot 0{,}05 = -5\) m/s² (büyüklüğü 5 m/s², dengeye doğru).
- \(E_p = \tfrac12 \cdot 50 \cdot 0{,}0025 = 0{,}0625\) J; \(E_k = 0{,}25 - 0{,}0625 = 0{,}1875\) J, yani toplamın dörtte üçü.
Cevap: Yaklaşık 0,87 m/s; 5 m/s²; 0,1875 J
Bir yay–kütle sisteminde kütle 4 katına, yay sabiti 9 katına çıkarılırsa periyot nasıl değişir? Bir basit sarkacın uzunluğu 9 katına çıkarılır ve sarkaç yer çekimi ivmesi 4 katı olan bir gezegene götürülürse periyodu nasıl değişir?
- \(T \propto \sqrt{m/k}\): \(\sqrt{4/9} = 2/3\) katı.
- \(T \propto \sqrt{L/g}\): \(\sqrt{9/4} = 3/2\) katı.
- Sarkacın periyodu kütleden bağımsızdır; yayınki \(g\)'den bağımsızdır.
Cevap: 2/3 katı; 3/2 katı
Uzunluğu 0,4 m olan bir basit sarkacın Dünya'daki periyodu nedir? Bu sarkaç 2 m/s² ivmeyle yukarı doğru hızlanan bir asansörde kullanılırsa periyodu ne olur? (\(g = 10\) m/s², \(\pi = 3\))
- \(T = 2\pi\sqrt{0{,}4/10} = 6 \cdot 0{,}2 = 1{,}2\) s.
- Asansörde \(g_{\text{etkin}} = 12\) m/s²: \(T' = 6\sqrt{0{,}4/12} = 6\sqrt{1/30} \approx 1{,}1\) s.
- Periyot kısalır; aşağı ivmede uzar, serbest düşmede sarkaç salınmaz.
Cevap: 1,2 s; yaklaşık 1,1 s
Periyodu 2 s olan bir sarkacın uzunluğu kaç metredir? Bu sarkaç Ay'a götürülürse periyodu kaç saniye olur? (\(g = 10\) m/s², \(\pi^2 \approx 10\), \(g_{\text{Ay}} = g/6\), \(\sqrt6 \approx 2{,}45\))
- \(T^2 = 4\pi^2 L/g \Rightarrow L = g T^2/(4\pi^2) = 10 \cdot 4/40 = 1\) m.
- Ay'da \(g\) altıda birine iner: \(T \propto 1/\sqrt g\).
- \(T_{\text{Ay}} = 2\sqrt6 \approx 4{,}9\) s.
Cevap: 1 m; yaklaşık 4,9 s
Yay sabiti k olan bir yaya asılan m kütleli cismin periyodu 0,6 s'dir. Aynı cisim, özdeş iki yayın seri bağlanmasıyla ve paralel bağlanmasıyla oluşan sistemlere asılırsa periyotlar ne olur? (\(\sqrt2 \approx 1{,}4\))
- Seri: \(k_{\text{eş}} = k/2\); \(T \propto 1/\sqrt k\) olduğundan \(T = 0{,}6\sqrt2 \approx 0{,}85\) s.
- Paralel: \(k_{\text{eş}} = 2k\); \(T = 0{,}6/\sqrt2 \approx 0{,}43\) s.
- Seri sistem yumuşar ve yavaş salınır; paralel sistem sertleşir ve hızlı salınır.
Cevap: Yaklaşık 0,85 s; yaklaşık 0,43 s
Yay sabiti 100 N/m olan düşey bir yaya 1 kg'lık bir cisim asılıyor. Yay ne kadar uzar? Cisim denge noktasından 4 cm aşağı çekilip bırakılırsa periyodu ve en büyük hızı ne olur? (\(g = 10\) m/s², \(\pi = 3\))
- \(\Delta x = m g/k = 10/100 = 0{,}1\) m.
- \(T = 2\pi\sqrt{m/k} = 6\sqrt{0{,}01} = 0{,}6\) s; ya da \(T = 2\pi\sqrt{\Delta x/g}\) ile aynı sonuç.
- \(\omega = 10\) rad/s, \(A = 0{,}04\) m: \(v_{\max} = 0{,}4\) m/s.
Cevap: 10 cm; 0,6 s; 0,4 m/s
Periyodu 1,2 s olan basit harmonik hareket yapan bir cisim \(+A\) konumundan serbest bırakılıyor. Cisim ilk kez \(+A/2\) konumuna kaç saniyede gelir? Denge noktasına kaç saniyede gelir?
- \(x = A\cos(\omega t) = A/2 \Rightarrow \omega t = 60° = 2\pi/6\).
- \(t = T/6 = 0{,}2\) s.
- Denge noktası için \(\omega t = 90°\): \(t = T/4 = 0{,}3\) s. Son yarı genliği kat etmek yalnızca 0,1 s sürer.
Cevap: 0,2 s; 0,3 s
Bir yay–kütle sisteminin genliği iki katına çıkarılırsa periyot, en büyük hız ve toplam enerji nasıl değişir?
- Periyot \(2\pi\sqrt{m/k}\): genlikten bağımsızdır, değişmez.
- \(v_{\max} = A\omega\): iki katına çıkar.
- \(E = \tfrac12 k A^2\): dört katına çıkar.
Cevap: Periyot aynı; hız 2 kat; enerji 4 kat
Sık yapılan hatalar
- Basit harmonik harekette ivmenin sabit olduğunu sanmak: ivme konumla orantılıdır ve sürekli değişir.
- Denge noktasında ivmenin en büyük olduğunu düşünmek: dengede ivme sıfır, hız en büyüktür.
- Sarkacın periyodunun kütleye bağlı olduğunu sanmak.
- Yay–kütle sisteminin periyodunun yer çekimine bağlı olduğunu düşünmek: Ay'da da aynıdır.
- Genlik artınca periyodun da arttığını sanmak: basit harmonik harekette periyot genlikten bağımsızdır.
- Bir tam salınımdaki yolu \(2A\) almak: bir tam salınımda yol \(4A\)'dır.
- \(x = A/2\)'de kinetik ve potansiyel enerjilerin eşit olduğunu sanmak: eşitlik \(x = A/\sqrt2\)'dedir.
- Seri bağlı yaylarda yay sabitlerini toplamak: seride sistem yumuşar, tersler toplanır.
Yüksek binaların tepesine yerleştirilen dev ayarlı kütle sönümleyicileri, rezonans ve basit harmonik hareketin mühendislikteki uygulamasıdır. Tayvan'daki Taipei 101 gökdeleninin 87. ile 92. katları arasında, 660 tonluk çelik bir küre dev bir sarkaç gibi asılıdır. Rüzgâr ya da deprem binayı salınıma soktuğunda bu sarkaç, doğal frekansı binanınkine eşit olacak biçimde ayarlandığı için binanın salınımına ters fazda salınır ve enerjinin büyük kısmını kendi üzerine alır. Bina bu sayede çok daha az sallanır. Türkiye'deki bazı yüksek binalarda ve uzun asma köprülerde de benzer sönümleyiciler kullanılmaktadır.
Konu testi
27 soru. Bir seçeneğe dokun; doğru cevap ve çözüm hemen açılır.
Basit harmonik hareket yapan bir cisim denge noktasından geçerken hız ve ivmesi için hangisi doğrudur?
Dengede geri çağırıcı kuvvet sıfırdır, bu yüzden ivme sıfırdır; hız ise en büyüktür.
Genliği A olan basit harmonik hareket yapan bir cisim bir tam salınımda kaç A yol alır?
Cisim +A'dan −A'ya ve geri gelir: \(2A + 2A = 4A\).
Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg'lık cismin periyodu kaç saniyedir? (\(\pi = 3\))
\(\omega = \sqrt{50/0{,}5} = 10\) rad/s; \(T = 2\pi/\omega = 0{,}6\) s.
Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg'lık cisim 10 cm genlikle salınıyor. Cismin en büyük hızı kaç m/s'dir?
\(v_{\max} = A\omega = 0{,}1 \cdot 10 = 1\) m/s.
Yay sabiti 50 N/m olan bir yaya bağlı 0,5 kg'lık cisim 10 cm genlikle salınıyor. Cisim dengeden 5 cm uzaktayken kinetik enerjisi kaç joule'dür?
Toplam enerji 0,25 J, \(E_p = \tfrac12 \cdot 50 \cdot 0{,}05^2 = 0{,}0625\) J: \(E_k = 0{,}1875\) J.
Basit harmonik hareket yapan bir cismin kinetik ve potansiyel enerjilerinin eşit olduğu konum aşağıdakilerden hangisidir?
\(\tfrac12 k x^2 = \tfrac12 \cdot \tfrac12 k A^2 \Rightarrow x = A/\sqrt2\).
Bir yay–kütle sisteminde kütle 4 katına çıkarılırsa periyot nasıl değişir?
\(T \propto \sqrt m\): \(\sqrt4 = 2\) katı.
Bir yay–kütle sisteminde kütle 4 katına, yay sabiti 9 katına çıkarılırsa periyot ilk değerinin kaç katı olur?
\(T \propto \sqrt{m/k} = \sqrt{4/9} = 2/3\).
Basit sarkacın periyodu aşağıdakilerden hangilerine bağlıdır? (Küçük açılar)
- I.İpin uzunluğu
- II.Cismin kütlesi
- III.Yer çekimi ivmesi
\(T = 2\pi\sqrt{L/g}\): kütle periyodu etkilemez.
Uzunluğu 0,4 m olan bir basit sarkacın periyodu kaç saniyedir? (\(g = 10\) m/s², \(\pi = 3\))
\(T = 6\sqrt{0{,}04} = 1{,}2\) s.
Bir basit sarkacın ipi 9 katına uzatılıyor ve sarkaç yer çekimi ivmesi Dünya'nınkinin 4 katı olan bir gezegene götürülüyor. Periyot ilk değerinin kaç katı olur?
\(T \propto \sqrt{L/g} = \sqrt{9/4} = 3/2\).
Dünya'da periyodu 2 s olan bir sarkacın uzunluğu yaklaşık kaç metredir? (\(g = 10\) m/s², \(\pi^2 \approx 10\))
\(L = g T^2/(4\pi^2) = 40/40 = 1\) m.
Bir basit sarkaç ve bir yay–kütle sistemi, Dünya'da aynı periyotla salınıyor. İkisi de Ay'a götürülürse periyotları için ne söylenebilir?
Sarkacın periyodu \(1/\sqrt g\) ile artar; yay–kütle periyodu \(g\)'ye bağlı değildir.
Uzunluğu 0,4 m olan bir sarkaç, 2 m/s² ivmeyle aşağı doğru hızlanan bir asansörde salınıyor. Sarkacın periyodu kaç saniyedir? (\(g = 10\) m/s², \(\pi = 3\), \(\sqrt{0{,}05} \approx 0{,}22\))
\(g_{\text{etkin}} = 8\) m/s²: \(T = 6\sqrt{0{,}4/8} = 6\sqrt{0{,}05} \approx 1{,}34\) s; periyot uzar.
Serbest düşen bir asansörün içindeki basit sarkaç için hangisi doğrudur?
Serbest düşmede \(g_{\text{etkin}} = 0\); geri çağırıcı kuvvet oluşmaz.
Yay sabiti k olan bir yaya asılan cismin periyodu T'dir. Aynı cisim, özdeş iki yayın paralel bağlanmasıyla oluşan sisteme asılırsa periyot ne olur?
Paralelde \(k_{\text{eş}} = 2k\); \(T \propto 1/\sqrt k\): \(T/\sqrt2\).
Yay sabiti k olan bir yay ortadan ikiye kesiliyor ve iki parça paralel bağlanıyor. Bu sisteme asılan cismin periyodu, bütün yaya asıldığındaki periyodun kaç katıdır?
Her yarı parça \(2k\); paralel bağlanınca \(4k\). \(T \propto 1/\sqrt k\): yarıya iner.
Yay sabiti 100 N/m olan düşey bir yaya 1 kg'lık bir cisim asılıyor. Yay kaç cm uzar? (\(g = 10\) m/s²)
\(\Delta x = m g/k = 0{,}1\) m = 10 cm.
Düşey bir yaya asılı cisim yayı 10 cm uzatıyor. Cisim denge noktasından aşağı çekilip bırakılırsa periyodu kaç saniye olur? (\(g = 10\) m/s², \(\pi = 3\))
\(m/k = \Delta x/g = 0{,}01\): \(T = 2\pi\sqrt{0{,}01} = 0{,}6\) s.
Periyodu 1,2 s olan basit harmonik hareket yapan bir cisim +A konumundan serbest bırakılıyor. Cisim ilk kez +A/2 konumuna kaç saniyede ulaşır?
\(\cos(\omega t) = 1/2 \Rightarrow \omega t = 60°\): \(t = T/6 = 0{,}2\) s.
Bir yay–kütle sisteminin genliği iki katına çıkarılırsa toplam mekanik enerji kaç katına çıkar?
\(E = \tfrac12 k A^2\): enerji genliğin karesiyle orantılıdır.
Basit harmonik hareketin konum–zaman ve ivme–zaman grafikleriyle ilgili hangisi doğrudur?
\(a = -\omega^2 x\): ivme konumla orantılı ve ters işaretlidir.
Bir salıncaktaki çocuğu tam doğru anlarda iterek giderek daha yükseğe çıkarmak hangi olayın örneğidir?
İtme frekansı salıncağın doğal frekansına eşit olduğunda genlik büyür: rezonans.
Sarkaçlı bir saat yaz aylarında geri kalıyor. Bunun nedeni hangisidir?
Sıcakta metal çubuk uzar; \(T \propto \sqrt L\) olduğundan periyot büyür ve saat yavaş işler.
Basit harmonik hareket yapan bir cismin en büyük hızı 1 m/s, en büyük ivmesi 10 m/s²'dir. Hareketin genliği kaç cm'dir?
\(a_{\max}/v_{\max} = \omega = 10\) rad/s; \(A = v_{\max}/\omega = 0{,}1\) m = 10 cm.
Basit harmonik hareket yapan bir cismin ivmesi en büyük değerini nerede alır?
\(a = -\omega^2 x\): ivme uzanımın en büyük olduğu uç noktalarda en büyüktür.
Bir basit sarkacın ipi aynı kalmak koşuluyla ucundaki kütle iki katına çıkarılırsa periyodu nasıl değişir?
Basit sarkacın periyodu \(2\pi\sqrt{L/g}\)'dir ve kütleye bağlı değildir.
İlerlemen bu tarayıcıda saklanıyor. Ücretsiz üye ol, her cihazda kaldığın yerden devam et.